Question

13．P是△AOB所在平面上一點(diǎn)，且在AB的垂直平分線上，若|OA|=3，|OB|=2，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． -3
• C． -$\frac{5}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 利用DP⊥AB可知，$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AB}=0$，再利用向量加法和減法的三角形法則以及平行四邊形法則，將$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$和$\overrightarrow{DP}$表示，即可求得答案．

解答 解：設(shè)線段AB的垂直平分線與AB的交點(diǎn)為D，則D為AB的中點(diǎn)，
根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，則有$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，
∵DP⊥AB，
∴$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AB}=0$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$=（$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DP}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）
=[$\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$+$\overrightarrow{DP}$]•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$$+\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{2}（|\overrightarrow{OB}{|}^{2}-|\overrightarrow{OA}{|}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（4-9）=-\frac{5}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，解決平面向量數(shù)量積的問(wèn)題，一般有三種方法：向量轉(zhuǎn)化法，坐標(biāo)化法，特殊值法．運(yùn)用轉(zhuǎn)化法求解的關(guān)鍵是運(yùn)用向量加法和減法的三角形法則或平行四邊形法則，將要求的向量一步一步向已知的向量轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．