Question

9．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$圖象上任意兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$．
（1）求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；
（2）若S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），其中n∈N^*，且n≥2，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件知M是AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求出M點(diǎn)的給坐標(biāo)．
（2）由（1）知f（x）+f（1-x）=1，S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），S_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$），兩式向加得，求出答案．

解答 解：（1）依題意$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），由知M為線段AB的中點(diǎn)，
又因?yàn)镸的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即x₁+x₂=1，
∴y₁+y₂=1+log₂（$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$）=1+log₂1=1，
∴$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知f（x）+f（1-x）=1，
∵n≥2時(shí)，S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），
∴S_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$），
兩式向加得，2S_n=n-1，
∴S_n=$\frac{n-1}{2}$（n∈N^*且n≥2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列與函數(shù)、函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象成中心對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，考查相關(guān)方法，考查了數(shù)列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)的和，利用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想解答熱點(diǎn)問(wèn)題--有關(guān)恒成立問(wèn)題