19.已知橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,直線x+y+$\sqrt{3}$=0與橢圓E僅有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)直線l被圓O:x2+y2=3所截得的弦長(zhǎng)為3,且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn),求△ABO面積的最大值.

分析 (1)由橢圓的離心率可得a2=2b2,得到橢圓方程x2+2y2-2b2=0,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,由判別式等于0求得b2,則橢圓方程可求;
(2)由直線l被圓O:x2+y2=3所截得的弦長(zhǎng)為3,得到坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,然后分直線l的斜率存在和不存在兩種情況求△ABO面積,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直接求解,當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程y=kx+m,由原點(diǎn)到直線的距離列式,把m用含有k的代數(shù)式表示,然后再由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng),換元后利用判別式法求得弦長(zhǎng)的最大值,求出斜率存在時(shí)△ABO面積的最大值,最后比較得答案.

解答 解:(1)由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$,即$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$,∴a2=2b2,
則橢圓方程為x2+2y2-2b2=0.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-2^{2}=0}\end{array}\right.$,消去y得,$3{x}^{2}+4\sqrt{3}x+6-2^{2}=0$,
由$△=(4\sqrt{3})^{2}-12(6-2^{2})=0$,解得:b2=1.
∴橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;
(2)∵直線l被圓O:x2+y2=3所截得的弦長(zhǎng)為3,
∴原點(diǎn)O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$,代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$,得y=$±\frac{\sqrt{10}}{4}$,
不妨設(shè)A($\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{10}}{4}$),B($\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{10}}{4}$),
則${S}_{△ABO}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{\sqrt{30}}{8}$;
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,即kx-y+m=0,
由$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,得4m2=3k2+3.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,消去y得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}},{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$,
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{(\frac{-4km}{1+2{k}^{2}})^{2}-\frac{8{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{1+6{k}^{2}+5{k}^{4}}{1+4{k}^{2}+4{k}^{4}}}$.
設(shè)k2=t,
令y=$\frac{1+6t+5{t}^{2}}{1+4t+4{t}^{2}}$,則(4y-5)t2+(4y-6)t+y-1=0,
當(dāng)y=$\frac{5}{4}$時(shí),可得t=$\frac{1}{4}$,符合題意;
當(dāng)y$≠\frac{5}{4}$時(shí),由△=(4y-6)2-(4y-5)(4y-4)≥0,得y$≤\frac{4}{3}$且y$≠\frac{5}{4}$.
綜上,y$≤\frac{4}{3}$.
∴當(dāng)斜率存在時(shí),$({S}_{△AOB})_{max}=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
綜①②可知,△ABO面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用判別式法求二次函數(shù)的值域,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,難度較大.

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(1)求橢圓C的離心率;
(2)M、N是橢圓C短軸的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)(異于橢圓C的頂點(diǎn)),直線MP、NP分別和x軸相交于R、Q兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若|OR|•|OQ|=4,求橢圓C的方程.

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(2)過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x2+y2=1的切線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)設(shè)線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0,求|x0|的最大值.

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