Question

16．已知f（x）=e^x-2ax，g（π）=-ax-b，其中a＞0，設兩函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有公共點，且在該點處相切．
（1）用a表示b；
（2）試證明不等式f（x）≥g（x）

Answer 1

分析 （1）設出函數的公共點，對兩個函數求導，根據兩個函數在這個點上的切線相同，以及切點滿足方程，整理得出b的關系式；
（2）構造新函數，對兩個函數做差，構造新函數，對新函數求導，得到函數在正數范圍上的單調性，求出最小值，最小值等于0，得到不等式的證明．

解答 解：（1）設函數f（x）與函數g（x）的圖象有公共點（m，n）
又f′（x）=e^x-2a，g′（x）=-a，
可得e^m-2a=-a，即m=lna，
又n=-am-b=e^m-2am，
可得b=am-e^m=alna-a；
（2）證明：設h（x）=f（x）-g（x）=e^x-2ax-（-ax-b）
=e^x-ax+alna-a，
h′（x）=e^x-a，當x＞lna時，h′（x）＞0，h（x）遞增；
當x＜lna時，h′（x）＜0，h（x）遞減．
可得x=lna處取得極小值，也為最小值a-alna+alna-a=0，
可得h（x）≥0，即f（x）≥g（x）．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運用轉化思想，構造函數，考查運算能力，屬于中檔題．