Question

10．已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線過點（1，2）．
（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）直線y=x-4與拋物線相交于A，B兩點，求三角形AOB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接代入拋物線標準方程為y²=2px，即可求出；
（Ⅱ）代入拋物線方程，利用韋達定理，結合S_△ABC=|OM||x₁-x₂|，求△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）設拋物線標準方程為y²=2px，）
∵拋物線過點（1，2），
∴4=2p即p=2，
∴y²=4x；
（Ⅱ）由題意可知直線AB斜率是1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$由\left\{\begin{array}{l}y=x-4\\{y^2}=4x\end{array}\right.消去y得{x^2}-12x+16=0$，
∴x₁+x₂=12，x₁•x₂=16，
∴$|{AB}|=4\sqrt{10}$，又O點到AB距離為$d=2\sqrt{2}$，
∴${S_△}_{ABC}=16\sqrt{5}$

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．