Question

2．已知橢圓C₁、拋物線(xiàn)C₂的焦點(diǎn)均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄如下：A₁（3，-2$\sqrt{3$）、A₂（-2，0）、A₃（4，-4）、A₄（$\sqrt{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
（Ⅰ）經(jīng)判斷點(diǎn)A₁，A₃在拋物線(xiàn)C₂上，試求出C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知直線(xiàn)l的斜率為1，且經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C₂的焦點(diǎn)F與橢圓C₁交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（ III）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線(xiàn)C₂有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線(xiàn)，都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)拋物線(xiàn)C₂：y²=2px（p≠0），設(shè)C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），利用待定系數(shù)法能求出C₁、C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出AB所在直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，求出A，B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求得線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（Ⅲ）假設(shè)存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線(xiàn)C₂有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線(xiàn)，都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0．設(shè)直線(xiàn)方程為x=ty+m，聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得M，N的橫縱坐標(biāo)的和與積，結(jié)合$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0恒成立可得關(guān)于m的不等式，求解不等式得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)拋物線(xiàn)C₂：y²=2px（p≠0），
則有$\frac{{y}^{2}}{x}=2p$（x≠0），
∵A₁（3，-2$\sqrt{3}$）、A₃（4，-4）在拋物線(xiàn)上，
將A₃坐標(biāo)代入曲線(xiàn)方程，得C₂：y²=4x．
設(shè)C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由題設(shè)知A₂（-2，0）、A₄（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C₁上，
把點(diǎn)A₂（-2，0），A₄（$\sqrt{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}=1}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴C₁方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）∵C₂：y²=4x，
∴p=2，
∴拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），則直線(xiàn)l的方程為y=x-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{8}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
∴A（0，-1），B（$\frac{8}{5}，\frac{3}{5}$）．
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{3}{5}+1）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$；
（Ⅲ）假設(shè)存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線(xiàn)C₂有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線(xiàn)，都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0．
設(shè)直線(xiàn)方程為x=ty+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4ty-4m=0．
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m，
x₁x₂=（ty₁+m）（ty₂+m）=${t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+tm（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}$=-4mt²+4t²m+m²=m²．
$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=m²-t（y₁+y₂）-2m+1-4m=m²-4t²-6m+1＜0．
即m²-6m+1＜4t²，則m²-6m+1＜0，
解得：$3-2\sqrt{2}＜m＜3+2\sqrt{2}$．
∴存在正數(shù)m∈（$3-2\sqrt{2}，3+2\sqrt{2}$），對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線(xiàn)C₂有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線(xiàn)，都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)、橢圓、直線(xiàn)方程的求法，考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓的離心率的求法，解題時(shí)要注意待定系數(shù)法的合理運(yùn)用，是中檔題．