Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax+1，其中a為實(shí)常數(shù)，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=e時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）已知a＞0，并設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≤2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為e^x≥a恒成立，從而求出a的范圍即可；
（3）求出f（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為只需證明g_max（a）≤2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域：R  …（1分）
當(dāng)a=e時，f'（x）=e^x-e…（2分）
令f'（x）=0解得x=1，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1），遞增區(qū)間是（1，+∞）…（5分）
（2）因?yàn)閒（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
則f'（x）=e^x-a≥0在R上恒成立…（6分），
即e^x≥a恒成立，e^x＞0…（7分）所以a≤0．…（8分）
（3）證明：f'（x）=e^x-a
當(dāng)a＞0時令f'（x）=0，解得x=lna，
令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增，
所以g（a）=f_min（x）=f（lna）=a-alna+1…（9分）
要證明g（a）≤2，則只需證明g_max（a）≤2…（10分）
而g'（a）=-lna令g'（a）=0，解得a=1，…（11分）
令g′（a）＞0，解得：a＜1，令g′（a）＜0，解得：a＞1，
所以g_max（a）=g（1）=2≤2成立．
∴g（a）≤2…（12分）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．