Question

如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的點(diǎn)，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的位置，使平面EFCD和平面ABEF所成二面角的大小為60°，
（Ⅰ）求證：直線BC⊥平面CDEF；
（Ⅱ）求二面角C-BD-A的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得∠BFC為平面EFCD和平面ABEF所成二面角的平面角，從而∠BFC=60°，CF=BF•cos∠BFC，BC⊥CF，又EF⊥BF，EF⊥CF，EF⊥平面BFC，EF⊥BC，由此能證明直線BC⊥平面CDEF，
（Ⅱ）由已知得BB₁⊥平面EB₁C₁．將圖形補(bǔ)形成如圖形所示的正三棱柱ADE-BGF，作CH⊥BG，垂足為H，則CH⊥平面ADGB，作HM⊥BD于點(diǎn)M，連結(jié)CM，由三垂線定理得CM⊥BD，∠CMH是二面角C-BD-G的平面角，又二面角C-BD-G與二面角C-BD-A互補(bǔ)，由此能求出二面角C-BD-A的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：∵BF⊥EF，CF⊥EF，
∴∠BFC為平面EFCD和平面ABEF所成二面角的平面角，
∵平面EFCD和平面ABEF所成二面角的大小為60°，
∴∠BFC=60°，CF=BF•cos∠BFC，BC⊥CF，①
又EF⊥BF，EF⊥CF，EF⊥平面BFC，EF⊥BC，②
由①②知直線BC⊥平面CDEF，
（Ⅱ）解：∵BB₁∥CC₁，CC₁⊥平面EB₁C₁，∴BB₁⊥平面EB₁C₁．
將圖形補(bǔ)形成如圖形所示的正三棱柱ADE-BGF，
作CH⊥BG，垂足為H，則CH⊥平面ADGB，作HM⊥BD于點(diǎn)M，連結(jié)CM，
由三垂線定理得CM⊥BD，
∴∠CMH是二面角C-BD-G的平面角，
△ADE為正三角形，四邊形ABGB是正方形，
∴HM=

3

8

AG=

3

4

2

，CH=

3

2

，
tan∠CMH=

CH

HM

=

6

3

，∠CMH=arctan

6

3

，
又二面角C-BD-G與二面角C-BD-A互補(bǔ)，
∴二面角C-BD-A的大小為π-arctan

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．