Question

已知函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過點P（1，0），且在點P處的切線的斜率為2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）≤m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程組，即可a，b的值；
（Ⅱ）確定函數(shù)在（0，1.5）上單調(diào)遞增，在（1.5，+∞）上單調(diào)遞減，可得函數(shù)的最大值，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx過點P（1，0），
∴f（1）=1+a=0，即a=-1．
函數(shù)f（x）=x-x²+blnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x-2x+

b

x

，
∵曲線y=f（x）過點P（1，0）且在點P處的切線斜率為2，
∴k=f′（1）=1-2+b=2，解得b=3，
即a=-1，b=3．
（Ⅱ）f（x）=x-x²+3lnx的定義域為（0，+∞），
f′（x）=1-2x+

3

x

=-

(x+1)(2x-3)

x

，
∴函數(shù)在（0，1.5）上單調(diào)遞增，在（1.5，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x=1.5時，函數(shù)取得最大值-0.75+3ln1.5．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最大值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵．