Question

12．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$BC=2，∠BAD=45°，E為線段AB的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，則直線DC與平面A′DE所成角的最小值為（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 過A作AH⊥DE，則AH⊥平面A′DE，于是∠AEH為AE與平面A′DE所成的角，也是CD與平面A′DE所成的角，在△ADE中使用正弦定理用DE表示出sin∠AED，根據(jù)DE的范圍即可得出所求線面角的范圍．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=$\sqrt{2}$BC=2，∠BAD=45°，
∴AD=$\sqrt{2}$，
過A作AH⊥DE，
∵平面A′DE⊥平面BCD，平面A′DE∩平面BCD=DE，AH?平面ABCD，
∴AH⊥平面A′DE，
∴∠AEH為AE與平面A′DE所成的角．
∵CD∥AE，
∴∠AEH為CD與平面A′DE所成的角．
∴∠AED為CD與平面A′DE所成的角或其補(bǔ)角．
在△ADE，由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠AED}=\frac{DE}{sinBAD}$，即$\frac{\sqrt{2}}{sin∠AED}=\frac{DE}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
∴sin∠AED=$\frac{1}{DE}$．
∵E在線段AB上，
∴當(dāng)E與B重合時(shí)，DE最大，sin∠AED取得最小值．
∵BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}-2AD•ABcos45°}$=$\sqrt{2}$．
∴sin∠AED=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴線DC與平面A′DE所成角的最小值為$\frac{π}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了線面角的作法與計(jì)算，屬于中檔題．