【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3x2+1(xR),其中a>0.

(1)若a=1,求曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;

(2)若在區(qū)間上,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

【答案】(1)y=6x-9.(2)0<a<5.

【解析】試題分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率即可;
(2)在區(qū)間上,恒成立恒成立,令,解得,以下分兩種情況討論,分類求出函數(shù)最大值即可.

試題解析:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=x3x2+1,f(2)=3;f' (x)=3x2-3xf' (2)=6.

所以曲線yf(x) 在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程y-3=6(x-2),即y=6x-9.

(2)f' (x)=3ax2-3x=3x(ax-1),令f' (x)=0,解得x=0或x

以下分兩種情況討論:

①若0<a≤2,則,當(dāng)x變化時,f' (x),f(x)的變化情況如下表:

x

(-,0)

0

(0,

f' (x)

0

f(x)

遞增

極大值

遞減

當(dāng)x[-,]上,f(x)>0等價于,即解不等式組得-5<a<5.因此0<a≤2.

②若a>2,則0<,當(dāng)x變化時,f' (x),f(x)的變化情況如下表:

X

(-,0)

0

(0,

,

f' (x)

0

0

f'(x)

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

當(dāng)x[-]上,f(x)>0等價于,即解不等式組得a<5,或a<-.因此2<a<5. 綜合①和②,可知a的取值范圍為0<a<5.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

2)若.

i)求實(shí)數(shù)的最大值;

ii)證明不等式: .

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【題目】已知函數(shù),( )滿足:①;②.

(1)求的值;

(2)若對任意的實(shí)數(shù),都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】某市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦銷售,已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元,在整個銷售旺季的80天里,銷售單價(元/千克)與時間第(天)之間的函數(shù)關(guān)系為:

,日銷售量(千克)與時間第(天)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示:

(1)求日銷售量與時間的函數(shù)關(guān)系式?

(2)哪一天的日銷售利潤最大?最大利潤是多少?

(3)在實(shí)際銷售的前40天中,該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦,就捐贈給村里的特困戶,在這前40天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間的增大而增大,求的取值范圍.

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【題目】已知向量 .設(shè) (t為實(shí)數(shù)).

(Ⅰ)若,求當(dāng)取最小值時實(shí)數(shù)t的值;

(Ⅱ)若,問:是否存在實(shí)數(shù)t,使得向量和向量的夾角為,若存在,請求出t;若不存在,請說明理由.

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【題目】拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,焦點(diǎn)為F.⊙M的圓心在x軸的正半軸上,且與y軸相切.過原點(diǎn)O作傾斜角為的直線nl于點(diǎn)A, 交⊙M于另一點(diǎn)B,且AOOB=2.

(1)求⊙M和拋物線C的方程;

(2)若P為拋物線C上的動點(diǎn),求的最小值;

(3)過l上的動點(diǎn)Q向⊙M作切線,切點(diǎn)為ST,求證:直線ST恒過一個定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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【題目】,角對的邊分別為.

(1)若,

(2)若,面積為,.

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【題目】選修4-5:不等式選講

已知函數(shù)fx)=|2x1|+|2xa|.

(I)若fx)的最小值為2,求a的值;

(II)fx)≤|2x4|的解集包含[2,1],求a的取值范圍.

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【題目】已知拋物線C的一個焦點(diǎn)為,對應(yīng)于這個焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為

(1)寫出拋物線C的方程;

(2)過F點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn),O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB重心G的軌跡方程;

(3)點(diǎn)P是拋物線C上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作圓的切線,切點(diǎn)分別是M,N.當(dāng)P點(diǎn)在何處時,|MN|的值最。壳蟪鰘MN|的最小值.

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