Question

已知函數(shù)f(x)=cos2(x+

π

12

)，g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）設(shè)x₀是函數(shù)y=f（x）的零點，求x₀及g（x₀）的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)x₀是函數(shù)y=f（x）的零點，進行化簡即可求x₀及g（x₀）的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的表達式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）由題設(shè)知f(x)=cos2(x+

π

12

)=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]，
因為x₀是函數(shù)y=f（x）的零點，
所以1+cos（2x+

π

6

）]=0，即cos（2x+

π

6

）=-1，
即x=kπ+

5

12

π，即x₀=kπ+

5

12

π，
所以g（x₀）=1+

1

2

sin2x₀=1+

1

2

sin（2kπ+

5π

6

）=

5

4

．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]+1+

1

2

sin2x
=

1

2

[cos（2x+

π

6

）+sin2x]+

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
當2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
此時函數(shù)h（x）是增函數(shù)，
故函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，要求熟練掌握常見三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．