Question

1．設(shè)${S_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$
（1）寫出S₁，S₂，S₃，S₄的值，
（2）歸納并猜想出S_n．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3，4可以求出S₁，S₂，S₃，S₄的值，
（2）從而可猜想{S_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式，方法一（裂項(xiàng)求和）；
方法二：（數(shù)學(xué)歸納法）按照數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟：先證明n=1時(shí)命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，從而得出命題a_n=2ⁿ+n對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立．

解答 解：（1∵${S_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$
∴S₁=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$=$\frac{2}{3}$，S₃=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=$\frac{3}{4}$，S₄=$\frac{4}{5}$，
（2）由（1）可以猜想，S_n=$\frac{n}{n+1}$，
理由如下：方法一（裂項(xiàng)求和）：
∵$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
∴${S_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
方法二：（數(shù)學(xué)歸納法）
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立，
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即S_k=$\frac{k}{k+1}$，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k（k+2）+1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{（k+1）^{2}}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k+1}{k+1+1}$
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立，
由①②可知，猜想成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理證明的能力，假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)命題成立，去證明則當(dāng)n=k+1時(shí)，用上歸納假設(shè)是關(guān)鍵，屬于中檔題．