Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過點(diǎn)F₁的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，|AB|的最小值為3，且△ABF₂的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，直線A′B交x軸于點(diǎn)M，求△ABM面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）把x=-c代入橢圓的方程可得：解得y=$±\frac{^{2}}{a}$．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，弦長|AB|取得最小值$\frac{2^{2}}{a}$=3．根據(jù)△ABF₂的周長為8，可得4a=8．又$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，聯(lián)立解出即可得出．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁）．直線AB的方程為my=x+1，與橢圓方程聯(lián)立化為：（3m²+4）y²-6my-9=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，直線A′B的方程為：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=（x-x₁），令y=0，可得：x_M=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=-4．M（-4，0）．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)M到直線AB的距離d，利用S_△ABM=$\frac{1}{2}d|AB|$及其利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）把x=-c代入橢圓的方程可得：y²=$^{2}（1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}）$，解得y=$±\frac{^{2}}{a}$．
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，弦長|AB|取得最小值$\frac{2^{2}}{a}$=3．
∵△ABF₂的周長為8，∴4a=8．
又$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，聯(lián)立解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁）．
直線AB的方程為my=x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$
直線A′B的方程為：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=（x-x₁），
令y=0，可得：x_M=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}（m{y}_{2}-1）+{y}_{2}（m{y}_{1}-1）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$-1=-4．
∴M（-4，0）．
點(diǎn)M到直線AB的距離d=$\frac{|-4+1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$．
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}d|AB|$=$\frac{1}{2}×$$\frac{3}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$×$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$=18×$\frac{\sqrt{1+{m}^{2}}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{18}{3\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$．（m²＞0）．
令$\sqrt{{m}^{2}+1}$＞1，g（t）=3t+$\frac{1}{t}$，g′（t）=3-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{3{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$＞0，因此函數(shù)g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（t）＞4．
∴S_△ABM∈$（0，\frac{9}{2}）$．
∴△ABM面積的取值范圍是$（0，\frac{9}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．