Question

5．已知直線的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$，它與曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosa}\\{y=2+2sina}\end{array}\right.$相交于A，B兩點(diǎn)．
〔1〕求︳AB|的大小；
〔2〕求過極坐標(biāo)點(diǎn)〔2，$\frac{4π}{3}$〕，且與曲線相切的直線的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）首先將極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，應(yīng)用弦長(zhǎng)公式l=2 $\sqrt{{r}^{2}-lrp1o5f^{2}}$求出弦長(zhǎng)．
（2）把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心和半徑，分切線的斜率不存在、存在兩種情況，分別求得切線的方程．

解答 解：（1）直線的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），化為普通方程：y=x，
曲線$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosa\\ y=2+2sina\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為普通方程為：（x-1）²+（y-2）²=4，
其圓心為（1，2），半徑r=2，
則圓心到直線的距離為d=$\frac{|1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
故弦長(zhǎng)|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-c7wcigw^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$．
（2）根據(jù)點(diǎn)M的極坐標(biāo)點(diǎn)〔2，$\frac{4π}{3}$〕，可得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（-1，-$\sqrt{3}$），
把曲線C直角坐標(biāo)方程為：（x-1）²+（y-2）²=4，
表示圓心為（1，2），半徑r=2，
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線的方程為x=-1，
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為y+$\sqrt{3}$=k（x+1），即 kx-y-$\sqrt{3}$+k=0，
由圓心到切線的距離等于半徑，$\frac{|2k-2-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=2$可得 6k²-24k-13=0，求得k=$\frac{3+4\sqrt{3}}{8+4\sqrt{3}}$，
故切線的方程為 （3+3$\sqrt{3}$）x-（8+4$\sqrt{3}$）y+9+4$\sqrt{3}$=0，
綜上可得，圓的切線方程為：（3+3$\sqrt{3}$）x-（8+4$\sqrt{3}$）y+9+4$\sqrt{3}$=0和x=-1，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，同時(shí)考查直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式．考查把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．