Question

設不等式x²+|x|-2≤0的解集為M．
（1）求集合M；
（2）若命題“?x∈M，ax³-3x+1≥0”為真，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）解不等式，求出不等式的解集．
（2）利用全稱命題為真命題，求出實數a的范圍．

解答：解：（1）原不等式等價為（|x|-1）（|x|+2）≤0，即|x|-1≤0，解的-1＜x＜1，所以M=（-1，1）．
（2）因為?x∈M，所以-1＜x＜1，
若x=0，則1≥0恒成立，
若0＜x≤1，則a≥

3x-1

x3

，f(x)=

3x-1

x3

，
則設f′(x)=

3x3-3x2(3x-1)

(x3)2

=

-3(2x-1)

x4

，
由f'（x）＞0，解得0＜x＜

1

2

，此時函數單調遞增，由f'（x）＜0，解得

1

2

＜x≤1，此時函數單調遞減，
所以當x=

1

2

時，函數取得極大值，同時也是最大值為f(

1

2

)=4，所以此時a≥4．
若-1≤x＜0，則，a≤

3x-1

x3

，設f′(x)=

3x3-3x2(3x-1)

(x3)2

=

-3(2x-1)

x4

，
當-1≤x＜0時，f'（x）＞0恒成立，此時函數單調遞增，
所以此時當x=-1時，函數取得最小值為f(-1)=

-3-1

(-1)3

=4，所以此時a≤4．
所以a=4．

點評：本題主要考查全稱命題的真假判斷和應用．