Question

12．正實數(shù)x，y，z滿足xy+3yz=20，則2x²+5y²+2z²的最小值為40．

Answer 1

分析 將原式變形為（2x²+$\frac{1}{2}$y²）+（$\frac{9}{2}$y²+2z²），再由基本不等式，結合條件即可得到最小值．

解答 解：由x，y，z＞0可得，
2x²+5y²+2z²=（2x²+$\frac{1}{2}$y²）+（$\frac{9}{2}$y²+2z²）
≥2$\sqrt{2{x}^{2}•\frac{1}{2}{y}^{2}}$+2$\sqrt{\frac{9}{2}{y}^{2}•2{z}^{2}}$
=2xy+6yz=2（xy+3yz）=2×20=40．
當且僅當$\sqrt{2}$x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，$\sqrt{2}$z=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$y取得最小值40．
故答案為：40．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意式子的變形，以及基本不等式滿足的條件：一正二定三等．