Question

20．已知點(diǎn)N（2，0），以N為圓心的圓與直線l₁：y=x和l₂：y=-x都相切．
（1）求圓N的方程；
（2）設(shè)l分別與直線l₁和l₂交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為E（4，1），試判斷直線l與圓N的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圓N與直線l₁：y=x相切，求出圓的半徑，即可求圓N的方程；
（2）設(shè)A（a，a），B（b，-b），利用AB中點(diǎn)為E（4，1），求出A的坐標(biāo)，可得直線AB的方程，利用圓心N（2，0）到直線的距離d＜r，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵圓N與直線l₁：y=x相切，∴半徑r=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．       
∴圓N的方程為（x-2）²+y²=2．                   
（2）顯然l斜率存在，設(shè)A（a，a），B（b，-b），
∵AB中點(diǎn)為E（4，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{a-b=2}\end{array}\right.$，
∴a=5，b=3，
∴A（5，5），
∴直線AB的方程為y-5=$\frac{5-1}{5-4}$（x-5），即4x-y-15=0，
圓心N（2，0）到直線的距離d=$\frac{|8-15|}{\sqrt{17}}$＜2，
∴判斷直線l與圓N相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出A，B的坐標(biāo)是關(guān)鍵．