Question

17．已知函數(shù)f（x）=1og₄（4^x+1）+kx（x∈R）是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-m有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)建立等式關(guān)系，化簡(jiǎn)可得$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{-x}+1}$=-2kx，從而x=-2kx對(duì)x∈R恒成立，即可求出k的值；
（2）要使函數(shù)g（x）=f（x）-m有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域，將m分離出來(lái)得m=$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$，然后利用基本不等式求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（x∈R）是偶函數(shù)．
可知f（x）=f（-x）
∴l(xiāng)og₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx，
即$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{-x}+1}$=-2kx，
∴l(xiāng)og₄4^x=-2kx，
∴x=-2kx對(duì)x∈R恒成立，
∴k=-$\frac{1}{2}$．
（2）由g（x）=f（x）-m有零點(diǎn)，
∴m=f（x）=1og₄（4^x+1）$-\frac{1}{2}$x，
∴m=$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$，
∵2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2，
∴m≥$\frac{1}{2}$，
故要使g（x）=f（x）-m有零點(diǎn)，m的取值范圍：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及根的個(gè)數(shù)的判定和基本不等式等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．