Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$，k∈R，若f（x）≥2+$\frac{1-e}{x}$恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． k＞1
• B． k≥1
• C． k＞3
• D． k≥3

Answer 1

分析 將不等式f（x）≥2+$\frac{1-e}{x}$恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法求函數(shù)的最值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：若f（x）≥2+$\frac{1-e}{x}$恒成立，
即lnx+$\frac{k}{x}$≥2+$\frac{1-e}{x}$，
則k≥2x+1-e-xlnx，
設(shè)g（x）=2x+1-e-xlnx，
則g′（x）=2-（1+lnx）=1-lnx，
當(dāng)x＞e，則g′（x）=1-lnx＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜e，則g′（x）=1-lnx＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
即當(dāng)x=e時(shí)，g（x）取得極大值，同時(shí)也是最大值g（e）=2e+1-e-e=1，
則k≥1，
即k的取值范圍是k≥1．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．