Question

12．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且PD=BC=3AD=3．
（Ⅰ）畫出四棱準(zhǔn)P-ABCD的正視圖；
（Ⅱ）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅲ）求證：棱PB上存在一點(diǎn)E，使得AE∥平面PCD，并求$\frac{PE}{EB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）畫出正視圖即可；（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；（Ⅲ）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．

解答 （Ⅰ）解：四棱準(zhǔn)P-ABCD的正視圖如圖所示．
；
（Ⅱ）證明：因?yàn)?nbsp;PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以 PD⊥AD．
因?yàn)?nbsp;AD⊥DC，PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
所以AD⊥平面PCD，
因?yàn)?nbsp;AD?平面PAD，
所以 平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅲ）分別延長(zhǎng)CD，BA交于點(diǎn)O，連接PO，在棱PB上取一點(diǎn)E，使得$\frac{PE}{EB}=\frac{1}{2}$，
下證AE∥平面PCD，
因?yàn)?nbsp;AD∥BC，BC=3AD，
所以 $\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{3}$，即$\frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$，
所以 $\frac{OA}{AB}=\frac{PE}{EB}$．
所以 AE∥OP，
因?yàn)镺P?平面PCD，AE?平面PCD，
所以 AE∥平面PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三視圖問題，考查面面垂直、線面垂直的判斷定理，是一道中檔題．