Question

14．在極坐標系下，過直線ρcosθ+ρsinθ=2$\sqrt{2}$上任意一點M，作曲線ρ=1的兩條切線，則這兩條切線的夾角的最大值為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把直線l：ρcosθ+ρsinθ=2$\sqrt{2}$化為直角坐標方程，曲線ρ=1h化為直角坐標方程．要使∠AMB最大，即使AM最短，即OM最短．過O最OM⊥l，則垂足M滿足要求．

解答 解：直線l：ρcosθ+ρsinθ=2$\sqrt{2}$化為直角坐標方程：x+y=2$\sqrt{2}$，曲線ρ=1h化為x²+y²=1，R=1．
要使∠AMB最大，即使AM最短，即OM最短．
∴過O最OM⊥l，則垂足M滿足要求．
由原點到l的距離d=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2=2R，
∴∠AMO=$\frac{π}{6}$，∠AMB=$\frac{π}{3}$．
∴這兩條切線的夾角的最大值為$\frac{π}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓相切的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．