Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{3}{5}t\\ y=\frac{4}{5}\end{array}\right.（t$為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在曲線C上，求M，N兩點(diǎn)間距離|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=2ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）直線l與x軸交于點(diǎn)M（2，0），曲線C是圓心為C（0，1），半徑r=1的圓，從而能求出|MC|=$\sqrt{5}$，M，N兩點(diǎn)間距離|MN|的最小值為|MC|-r．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，
∴ρ²=2ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2y，即x²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{3}{5}t\\ y=\frac{4}{5}\end{array}\right.（t$為參數(shù)），
∴直線l與x軸交于點(diǎn)M（2，0），
曲線C是圓心為C（0，1），半徑r=1的圓，
|MC|=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵點(diǎn)N在曲線C上，
∴M，N兩點(diǎn)間距離|MN|的最小值為：|MC|-r=$\sqrt{5}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查兩點(diǎn)間距離的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．