Question

17．如圖，AB，CD是圓O的兩條互相垂直的直徑，E是圓O上的點(diǎn)，過E點(diǎn)作圓O的切線交AB的延長線于F，連結(jié)CE交AB于G點(diǎn)．
（1）求證：FG²=FA•FB；
（2）若圓O的半徑為2$\sqrt{3}$，OB=$\sqrt{3}$OG，求EG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OE，DE，由弦切角定理知∠FEG=∠D，證明FG=FE，由切割線定理得FE²=FA•FB，即可證明：FG²=FA•FB；
（2）由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即可求EG的長．

解答 （1）證明：連接OE，DE，由弦切角定理知∠FEG=∠D．
∵∠C+∠D=90°，
∴∠C+∠FEG=90°
又∠C+∠CGO=90°，∠CGO=∠FGE
∴∠C+∠FGE=90°，
∴∠FGE=∠FEG
即FG=FE                      …（5分）
由切割線定理得FE²=FA•FB，所以FG²=FA•FB；
（Ⅱ）解：由OB=$\sqrt{3}$OG=2$\sqrt{3}$知，OG=2，
∴AG=2$\sqrt{3}$+2，BG=2$\sqrt{3}$-2，
在Rt△OCG中，由OC=2$\sqrt{3}$，OG=2得，CG=4．
由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，
即（2$\sqrt{3}$+2）（2$\sqrt{3}$-2）=4EG，
∴EG=2．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查弦切角定理、切割線定理、相交弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．