設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1.F2.A是橢圓上的一點(diǎn),AF2⊥F1F2,原點(diǎn)O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|;
(1)求橢圓的離心率;
(2)若左焦點(diǎn)F1(-1,0)設(shè)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn),線段BC的垂直平分線與x軸交于G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(1)由題設(shè)AF2⊥F1F2,及F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),設(shè)點(diǎn)A(c,y),則
c2
a2
+
y2
b2
=1
,由此利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合已知條件得e=
2
2

(2)由已知求出橢圓的方程為
x2
2
+y2=1
,設(shè)直線BC的方程為y=k(x+1)(k≠0),代入橢圓方程,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.
解答: 解:(1)由題設(shè)AF2⊥F1F2,及F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
不妨設(shè)點(diǎn)A(c,y),其中y>0.
由于點(diǎn)A在橢圓上,有
c2
a2
+
y2
b2
=1
,
a2-b2
a2
+
y2
b2
=1,解得y=
b2
2ac
,從而得A(c,
b2
a
)
.…(2分)
直線AF1的方程為y=
b2
a
(x+c),整理得b2x-2acy+b2c=0

由題設(shè),原點(diǎn)O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|,即
c
3
=
b2c
b4+4a2c2
,…(4分)
將b2=a2-c2代入到上式并化簡(jiǎn),得a2=2c2,
進(jìn)而求得e=
2
2
.…(6分)
(2)∵左焦點(diǎn)F1(-1,0),∴橢圓的方程為
x2
2
+y2=1
.…(7分)
設(shè)直線BC的方程為y=k(x+1)(k≠0),
代入橢圓方程,并整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
記B(x1,y1),C(x2,y2),BC中點(diǎn)N(x0,y0
x1+x2=-
4k2
2k2+1
,x0=
1
2
(x1+x2)=-
2k2
2k2+1
,
y0=k(x0+1)=
k
2k2+1
,…(10分)
∴BC的垂直平分線NG的方程為y-y0=-
1
k
(x-x0)
…(11分)
令y=0得xG=x0+ky0=-
2k2
2k2+1
+
k2
2k2+1
=-
k2
2k2+1
=-
1
2
+
1
4k2+2
,…(12分)∵k≠0,∴-
1
2
xG<0
.…(13分)
即點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為(-
1
2
,0)
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓離心率的求法,考查點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在銳角△ABC中,已知角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且sin2B+
2
sinAsinC=sin2A+sin2C.
(1)求角B的大小;
(2)若a=3
2
,且最短邊b=
10
,求邊長(zhǎng)c的值和△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算:|1+lg0.001|+|lg3-2|+lg6-lg0.002.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的左焦點(diǎn)F(-
2
,0)作兩條互相垂直的直線與橢圓分別相交于A、C及B、D,當(dāng)直線AC與x軸垂直時(shí),四邊形ABCD的面積為4.
(Ⅰ)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求
|AC|2|BD|2
|AC|+|BD|
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

為研究某大學(xué)女大學(xué)生的身高xcm和體重ykg的相關(guān)關(guān)系,據(jù)所抽取8名女生測(cè)得的數(shù)據(jù)可計(jì)算出線性回歸方程為
y
=0.849x-85.712
,由此方程知,當(dāng)x=172(cm)時(shí),y=60.316(kg),下列說(shuō)法正確的是( 。
A、身高為172cm的女大學(xué)生的體重是60.316kg
B、身高為172cm的所有女大學(xué)生的平均體重必為60.316kg
C、身高為172cm的女大學(xué)生的體重多數(shù)在60.316kg左右
D、以上說(shuō)法均不對(duì)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且4Sn=an2+2an,設(shè)數(shù)列{
1
an2
}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn
5
32

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,1),C(4,5),求cosA•cosB•cosC的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

同一坐標(biāo)系下,函數(shù)y=x+a與函數(shù)y=ax的圖象可能是( 。
A、
B、
C、
D、

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

證明:tan
α
2
=
1-cosα
sinα

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