Question

3．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（-2，0）和點Q（1，e），其中e是橢圓M的離心率，
（1）求橢圓M的方程
（2）若點B與點A關(guān)于原點對稱，動點T滿足TB⊥x軸，連接AT交橢圓M于點P（異于點A），在x軸上是否存在定點C，使得BP⊥TC？若存在，求出定點C的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2，運用離心率公式，代入點（1，e），解方程即可得到b=1，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則直線AP的方程y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），由已知條件推導(dǎo)出T（2，$\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}$）設(shè)定點C（m，0），由TC⊥PB，得到$\frac{\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}}{2-m}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=-1，由此能求出定點C（1，0）．

解答 解：（1）由橢圓經(jīng)過點A（-2，0），可得a=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2}$，b²+c²=4，
∵橢圓C經(jīng)過點Q（1，e），可得$\frac{1}{4}$+$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{^{2}}$=1，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則直線AP的方程y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），
∵A（-2，0）、B（2，0）是橢圓C的左、右頂點，動點M滿足TB⊥AB，
∴T（2，$\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}$），
假設(shè)存在定點C（m，0），
∵TC⊥PB，
∴k_TC•k_PB=-1，即$\frac{\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}}{2-m}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=-1，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，
∴-$\frac{1}{4}$•$\frac{4}{2-m}$=-1，解得m=1，
∴定點C（1，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的定點坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運用．