Question

8．對于橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），c為橢圓半焦距，e為橢圓離心率，過原點O的直線與橢圓C交于A、B兩點（A、B不是橢圓C的頂點），點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M、N兩點，證明：
（1）當(dāng)e≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，設(shè)直線BD、AM的斜率分別為k₁、k₂，則k₁=（1-2e²）k₂，當(dāng)e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，則直線AM與x軸垂直；
（2）△OMN面積的最大值為$\frac{{c}^{4}}{4ab}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A，D的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），（x₂，y₂），用A的坐標(biāo)表示B的坐標(biāo)，把AB和AD的斜率都用A的坐標(biāo)表示，寫出直線AD的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到AD橫縱坐標(biāo)的和，求出AD中點坐標(biāo)，則BD斜率可求，再寫出BD所在直線方程，取y=0得到M點坐標(biāo)，由兩點求斜率得到AM的斜率，討論離心率e，即可得證；
（2）由BD方程求出N點坐標(biāo)，結(jié)合（1）中求得的M的坐標(biāo)得到△OMN的面積，然后結(jié)合橢圓方程利用橢圓的參數(shù)方程，結(jié)合二倍角公式和正弦函數(shù)的值域，可求得最值．

解答 證明：（1）設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），
則B（-x₁，-y₁）．
∵直線AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
又AB⊥AD，
∴直線AD的斜率k_AD=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$．
設(shè)AD方程為y=kx+m，
由題意知k≠0，m≠0．
聯(lián)立橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得
（b²+a²k²）x²+2ka²mx+a²m²-a²b²=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{2k{a}^{2}m}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
因此y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
由題意可得k₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{^{2}}{k{a}^{2}}$=$\frac{{^{2}y}_{1}}{{{a}^{2}x}_{1}}$．
∴直線BD的方程為y+y₁=$\frac{{^{2}y}_{1}}{{{a}^{2}x}_{1}}$（x+x₁）．
令y=0，得x=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{^{2}}$x₁，即M（$\frac{{a}^{2}-^{2}}{^{2}}$x₁，0）．
可得k₂=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\frac{{a}^{2}-^{2}}{^{2}}{x}_{1}}$．
∴當(dāng)e≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，即a²-b²≠b²，
k₁=$\frac{2^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$k₂=$\frac{{a}^{2}-2{c}^{2}}{{a}^{2}}$k₂=（1-2e²）k₂；
當(dāng)e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，a²-b²=b²，即有M（x₁，0），
即直線AM與x軸垂直；
（2）直線BD的方程為y+y₁=$\frac{{^{2}y}_{1}}{{{a}^{2}x}_{1}}$（x+x₁）．
 令x=0，得y=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$y₁，即N（0，$\frac{^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$y₁），
由（1）知M（$\frac{{a}^{2}-^{2}}{^{2}}$x₁，0）．
可得△OMN的面積為S=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}^{2}-^{2}}{^{2}}$|x₁|•$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$|y₁|=$\frac{（{a}^{2}-^{2}）^{2}}{2{a}^{2}^{2}}$|acosα•bsinα|
=$\frac{1}{4}$$\frac{（{a}^{2}-^{2}）^{2}}{ab}$•|sin2α|≤$\frac{{c}^{4}}{4ab}$，
當(dāng)且僅當(dāng)α=$\frac{kπ}{2}$±$\frac{π}{4}$，k∈Z．
∴△OMN面積的最大值為$\frac{{c}^{4}}{4ab}$．

點評 本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，是難題．