Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（x）=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么f（f（x））=x是否有實(shí)數(shù)根？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 由題意化簡(jiǎn)f（f（x））-x=[f（x）-x][af（x）+ax+b+1]，從而化為解方程a²x²+（ab+a）x+ac+b+1=0；再由判別式判斷即可．

解答 解：f（f（x））=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根，證明如下，
f（f（x））-x=af²（x）+bf（x）+c-x
=af²（x）-axf（x）+axf（x）-ax²+bf（x）-bx+ax²+bx+c-x
=af（x）[f（x）-x）]+ax[f（x）-x]+b[f（x）-x]+f（x）-x
=[f（x）-x][af（x）+ax+b+1]=0，
∵f（x）=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴△=（b-1）²-4ac＜0，
且af（x）+ax+b+1=0；
即a（ax²+bx+c）+ax+b+1=0
a²x²+（ab+a）x+ac+b+1=0
△=（ab+a）²-4a²（ac+b+1）=a²[（b-1）²-4ac-4]＜-4a²＜0，
∴f[f（x）]=x一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了復(fù)合函數(shù)的化簡(jiǎn)與因式分解的應(yīng)用，化簡(jiǎn)比較困難，屬于中檔題．