Question

4．已知方程4x|x|+y|y|=4的曲線為函數y=f（x）的圖象，對于函數f（x）有如下結論，其中正確的是②⑤．（寫出所有正確結論的序號）
①函數y=f（x）是R上的奇函數
②函數y=f（x）是R上的減函數
③函數f（x）的圖象關于直線y=2x對稱
④函數y=g（x）和y=f（x）的圖象關于原點對稱，則函數g（x）的圖象是方程4x|x|-y|y|=4表示的曲線
⑤方程f（x）+2x=k恰有兩個不等的解，則k∈（0，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 分四類情況進行討論，然后畫出相對應的圖象，由圖象可以判斷所給的命題的真假性

解答 解：（1）x≥0，y≥0，4x²+y²=4，即x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，焦點在y軸上的橢圓在第一象限的部分，函數f（x）為減函數，
（2）x≥0，y＜0，4x²-y²=4，x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，焦點在x軸上的雙曲線在第四象限的部分，函數f（x）為減函數，
（3）x＜0，y≥0，y²-4x²=4，-x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，焦點在y軸上的雙曲線的雙曲線在第二象限的部分，函數f（x）為減函數，
（4）x＜0，y＜0，不存在
根據上述情況作出相應的圖象，如圖所示，
由圖象可知①③錯誤，②正確，
函數y=g（x）和y=f（x）的圖象關于原點對稱，則函數g（x）的圖象是方程4x|x|+y|y|=-4表示的曲線，故④錯誤，
當圖象在第一象限時，方程f（x）+2x=k恰有兩個不等的解，
∴f²（x）=（k-2x）²，
即8x²-4kx+k²-4=0，
∴△=16k²-4×8（k²-4）＞0，
解得0＜k＜2$\sqrt{2}$，
當圖象在第二四象限時，
方程f（x）+2x=k恰有各有一個不等的解，
∴f²（x）=（k-2x）²，
∴4kx=k²+4，
∴k＞0，
綜上所述方程f（x）+2x=k恰有兩個不等的解，則k∈（0，2$\sqrt{2}$）．
故⑤正確．
故答案為：②⑤

點評 本題主要考查了含有絕對值的函數的圖象，以及有關圓錐曲線的問題，利用了數形結合的思想，屬于難題