Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0＜α＜$\frac{π}{2}$），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ+2cosθ=ρ（ρ≥0，0≤θ＜2π），直線l與曲線C交干A，B兩點(diǎn)
（1）求證：OA⊥OB；
（2）若α=$\frac{π}{4}$，求直線與l平行的曲線C的切線方程．

Answer 1

分析 （1）把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，證明x₁x₂+y₁y₂=0，即可證明OA⊥OB；
（2）若α=$\frac{π}{4}$，設(shè)直線方程為y=x+b，與y²=2x聯(lián)立，可得x²+（2b-2）x+b²=0，△=（2b-2）²-4b²=0，求出b，即可求直線與l平行的曲線C的切線方程．

解答 （1）證明：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0＜α＜$\frac{π}{2}$），普通方程為y=tanα（x-2），
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ+2cosθ=ρ的直角坐標(biāo)方程為y²=2x，
聯(lián)立可得tan²αx-（4tan²α+2）x+4tan²α=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=4+$\frac{2}{ta{n}^{2}α}$，x₁x₂=4，
∴y₁y₂=-4，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB；
（2）解：α=$\frac{π}{4}$，設(shè)直線方程為y=x+b，
與y²=2x聯(lián)立，可得x²+（2b-2）x+b²=0，
∴△=（2b-2）²-4b²=0，
∴b=$\frac{1}{2}$，
∴直線與l平行的曲線C的切線方程為y=x+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．