Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點A（1，$\frac{3}{2}$）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過右焦點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M，N兩不同點，線段MN的垂直平分線交y軸于點P（0，y₀），求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用橢圓的性質(zhì)及e=$\frac{c}{a}$，A在橢圓上，滿足橢圓方程及b²=a²-c²即可得出；
（II）分直線MN的斜率存在與不存在討論，當MN的斜率存在時，可設直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系及其中點坐標公式，再由基本不等式的性質(zhì)即可得出范圍．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓C的半焦距是c．
因為橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
b²=a²-c²=3．
所以a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）當MN⊥x軸時，顯然y₀=0．
當MN與x軸不垂直時，由右焦點為（1，0），
可設直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y整理得 （3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點為Q（x₃，y₃），
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
則x₃=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₃=k（x₃-1）=-$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$．
線段MN的垂直平分線方程為y+$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）．
在上述方程中令x=0，得y₀=$\frac{k}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{4k+\frac{3}{k}}$．
當k＜0時，4k+$\frac{3}{k}$≤-4$\sqrt{3}$；當k＞0時，4k+$\frac{3}{k}$≥4$\sqrt{3}$．
所以-$\frac{\sqrt{3}}{12}$≤y₀＜0，或0＜y₀≤$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
綜上：y₀的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$]．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、中點坐標公式及其基本不等式的性質(zhì)等基礎知識與基本技能，考查了分類討論思想方法、推理能力、計算能力．