Question

9．如圖，在直角坐標系中，正方形ABCD的四個頂點分別為A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）．
（Ⅰ）已知函數(shù)$f（x）=\frac{2}{9x}$（其中$x∈（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$），過f（x）圖象是任意一點R的切線l將正方形ABCD截成兩部分，設(shè)R點的橫坐標為t，S（t）表示正方形ABCD被切線l所截的左下部分的面積，求S（t）的解析式；
（Ⅱ） 試問S（t）在定義域上是否存在最大值和最小值？若存在，求出S（t）的最大值和最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）討論切點位置，得到不同的切點位置對應(yīng)的面積解析式；注意討論要全面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析式分析各段的單調(diào)性，全等最值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)R（t，f（t））（其中$t∈（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$），f（x）圖象上的兩端點為$E（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}），F(xiàn)（\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$
又$f'（t）=-\frac{2}{{9{t^2}}}$，
所以過點R（t，f（t））的切線l的方程為：$y=-\frac{2}{{9{t^2}}}x+\frac{4}{9t}$…（2分）
（�。┊�(dāng)切點為$E（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$時，$t=\frac{1}{3}$，切線l為：$y=-2x+\frac{4}{3}$，

切線l與CD的交點坐標為$（\frac{1}{6}，1）$．當(dāng)切線過點D（0，1）時，$t=\frac{4}{9}$…（4分）
故當(dāng)$\frac{1}{3}＜t＜\frac{4}{9}$時，切線l與CD相交，此時正方形ABCD被切線l所截的左下部分是直角梯形，S（t）=$\frac{1}{2}[\frac{（4-9t）t}{2}+2t]=\frac{1}{4}（-9{t^2}+8t）$…（6分）
（ⅱ）當(dāng)切線過點B（1，0）時，當(dāng)$\frac{4}{9}≤t≤\frac{1}{2}$時，切線l與AD，AB都相交，正方形ABCD被切線l所截的左下部分是直角三角形，S（t）=$\frac{1}{2}（\frac{4}{9t}）（2t）=\frac{4}{9}$…（7分）
（ⅲ）當(dāng)切點為$F（\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$時，切線l為：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}$，切線l與BC的交點坐標為$（1，\frac{1}{6}）$
故當(dāng)$\frac{1}{2}＜t＜\frac{2}{3}$時，切線l與AD，BC都相交，正方形ABCD被切線l所截的左下部分是直角梯形，S（t）=$\frac{1}{2}（\frac{4}{9t}+\frac{4t-2}{{9{t^2}}}]=\frac{4}{9t}-\frac{1}{{9{t^2}}}$…（9分）
綜上所述：$S（t）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}（-9{t^2}+8t）t∈（\frac{1}{3}，\frac{4}{9}）}\\{\frac{4}{9}\;\;\;t∈[\frac{4}{9}，\frac{1}{2}]}\\{\frac{4}{9t}-\frac{1}{{9{t^2}}}\;t∈（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）}\end{array}}\right.$…（10分）
（Ⅱ）解：當(dāng)$t∈（\frac{1}{3}，\frac{4}{9}）$，$S'（t）=-\frac{9}{2}（t-\frac{4}{9}）＞0$，故S（t）在$（\frac{1}{3}，\frac{4}{9}）$上遞增，S（t）最大無限接近$\frac{4}{9}$，S（t）無最大值和最小值…（11分）
當(dāng)$t∈（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$時，$S'（t）=\frac{2（1-2t）}{{9{t^3}}}＜0$，S（t）在$（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$上遞減，S（t）最大無限接近$\frac{4}{9}$，S（t）無最大值和最小值…（12分）
故當(dāng)$t∈[\frac{4}{9}，\frac{1}{2}]$，$S（t）=\frac{4}{9}$成立…（13分）
綜上所述：S（t）在定義域上存在最大值$\frac{4}{9}$，不存在最小值．…（14分）．

點評 本題考查了分段函數(shù)進行是求法與函數(shù)的最值求法；借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用單調(diào)性求最值；考查了學(xué)生的計算能力；屬于難題．