Question

18．從裝有n+1個球（其中n個白球，1個黑球）的口袋中取出m個球（0＜m≤n，m，n∈N），共有$C_{n+1}^m$種取法．在這$C_{n+1}^m$種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個球全部為白球，共有$C_1^0•C_n^m$種取法；另一類是取出的m個球有m-1個白球和1個黑球，共有$C_1^1•C_n^{m-1}$種取法．顯然$C_1^0•C_n^m+C_1^1•C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$，即有等式：$C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$成立．試根據(jù)上述思想化簡下列式子：$C_n^m+C_k^1C_n^{m-1}+C_k^2C_n^{m-2}+…+C_k^k•C_n^{m-k}$=C_n+k^m．

Answer 1

分析 從裝有n+1個球（其中n個白球，1個黑球）的口袋中取出m個球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C_n+1^m種取法．在這C_n+1^m種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個球全部為白球，另一類是，取出1個黑球，m-1個白球，則C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m根據(jù)上述思想，在式子：C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，從第一項到最后一項分別表示：從裝有n個白球，k個黑球的袋子里，取出m個球的所有情況取法總數(shù)的和，故答案應(yīng)為：從從裝有n+k球中取出m個球的不同取法數(shù)，根據(jù)排列組合公式，易得答案．

解答 解：在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，
從第一項到最后一項分別表示：
從裝有n個白球，k個黑球的袋子里，
取出m個球的所有情況取法總數(shù)的和，
故答案應(yīng)為：從從裝有n+k球中取出m個球的不同取法數(shù)C_n+k^m
故答案為：C_n+k^m．

點評 這個題結(jié)合考查了推理和排列組合，處理本題的關(guān)鍵是熟練掌握排列組合公式，明白每一項所表示的含義，再結(jié)合已知條件進(jìn)行分析，最后給出正確的答案．