Question

17．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{a}{2}$x²+（a-1）x+lnx．
（Ⅰ）若a＞-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）=$\frac{a}{2}$x²+（1-2a）x+f（x）有且只有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）由h（x）=lnx的圖象與直線y=ax有兩交點可知；a＞0，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，即可求出有2個交點時a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-$\frac{a}{2}$x²+（a-1）x+lnx，（x＞0），
f′（x）=-ax+（a-1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（-ax-1）（x-1）}{x}$，
0＜-a＜1即-1＜a＜0時，-$\frac{1}{a}$＞1，
令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{a}$或0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，-$\frac{1}{a}$）遞減，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，
-a≤0即a≥0時，-ax-1＜0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（Ⅱ）若g（x）=$\frac{a}{2}$x²+（1-2a）x+f（x）有且只有兩個零點，
即lnx=ax有且只有兩個零點，
即h（x）=lnx，y=ax有且只有2個交點，
由h（x）=lnx的圖象與直線y=ax有兩交點
可知；a＞0，
當(dāng)直線與h（x）=lnx相切時，設(shè)切點（x₀，lnx₀）
∵h(yuǎn)′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴根據(jù)切線的斜率與導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系可知：$\frac{1}{{x}_{0}}$=a，即x₀=$\frac{1}{a}$，
代入直線方程可得；ln$\frac{1}{a}$=1，解得：a=$\frac{1}{e}$，
所以函數(shù)h（x）=lnx的圖象與直線y=ax有兩交點，
則0＜a＜$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解決交點問題．