Question

11．設(shè)不等式|x-4|-|2x-7|＞$\frac{1}{3}$（x-7）的解集為M．
（1）求M；
（2）證明：當(dāng)a、b∈M時(shí)，|$\sqrt{ab}$-2|＜|2$\sqrt{a}$-$\sqrt$|．

Answer 1

分析 （1）分類討論解不等式，可得M；
（2）利用反證法，即可證明．

解答 （1）解：x＜3.5時(shí)，不等式化為4-x+2x-7＞$\frac{1}{3}$（x-7），解得x＞1，∴1＜x＜3.5；
3.5≤x＜4時(shí)，不等式化為4-x-2x+7＞$\frac{1}{3}$（x-7），解得x＜4，∴3.5≤x＜4；
x≥4時(shí)，不等式化為x-4-2x+7＞$\frac{1}{3}$（x-7），解得x＜4，無解；
綜上所述，M={x|1＜x＜4}；
（2）證明：要證明|$\sqrt{ab}$-2|＜|2$\sqrt{a}$-$\sqrt$|，
只要證明ab-4$\sqrt{ab}$+4＜4a-4$\sqrt{ab}$+b，
只要證明ab+4＜4a+b，
只要證明ab+4＜4a+b，
只要證明（a-1）（b-4）＜0，
∵a、b∈M={x|1＜x＜4}，∴結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法與證明，考查分析法的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．