Question

2．P是雙曲線C：x²-y²=2左支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F₂是雙曲線C的右焦點，則|PF₂|+|PQ|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $3\sqrt{2}$
• D． $2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的ab，c，以及一條漸近線方程，運用雙曲線的定義，可得|PF₂|+|PQ|=|PF₁|+2$\sqrt{2}$+|PQ|，依題意，當且僅當Q、P、F₁三點共線，且P在F₁，Q之間時，|PF₁|+|PQ|最小，且最小值為F₁到l的距離，從而可求得|PF₂|+|PQ|的最小值．

解答 解：雙曲線C：x²-y²=2的a=b=$\sqrt{2}$，c=2，
一條漸近線l方程為x-y=0，
設雙曲線的左焦點為F₁，連接PF₁，
由雙曲線定義可得|PF₂|-|PF₁|=2a=2$\sqrt{2}$，
∴|PF₂|=|PF₁|+2$\sqrt{2}$，
∴|PF₂|+|PQ|=|PF₁|+2$\sqrt{2}$+|PQ|，
當且僅當Q、P、F₁三點共線，且P在F₁，Q之間時，
|PF₁|+|PQ|最小，且最小值為F₁到l的距離，
可得F₁（-2，0）到l的距離d=$\frac{|-2-0|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|PQ|+|PF₂|的最小值為2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，利用雙曲線的定義將|PF₂|轉化為|PF₁|+2 a是關鍵，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．