Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}，\;\;x≥1\\ 2x-{x^2}，\;x＜1\end{array}$，若f（ax²+1）＞f（ax）對任意x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，4）．

Answer 1

分析 通過對函數(shù)$x+\frac{1}{x}$求導(dǎo)，即可判斷函數(shù)f（x）在x≥1時(shí)的單調(diào)性，由二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷x＜1時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再單調(diào)性的定義即可得到函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，從而可得到不等式ax²-ax+1＞0恒成立，a=0時(shí)顯然成立，而a≠0時(shí)，需滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，這樣便可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設(shè)g（x）=$x+\frac{1}{x}$，x≥1，$g′（x）=\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$；
∵x≥1，∴g′（x）≥0；
∴x≥1時(shí)，g（x）單調(diào)遞增；
設(shè)h（x）=2x-x²，x＜1；
二次函數(shù)h（x）的對稱軸為x=1；
∴x＜1時(shí)，h（x）單調(diào)遞增；
又g（1）=2，h（1）=1，g（1）＞h（1）；
∴f（x）在R上是增函數(shù)；
由f（ax²+1）＞f（ax）對任意x∈R恒成立得：
ax²+1＞ax恒成立；
即ax²-ax+1＞0恒成立；
①若a=0，顯然上面不等式成立；
②若a≠0，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$；
解得0＜a＜4；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，4）．
故答案為：[0，4）．

點(diǎn)評 考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，二次函數(shù)的單調(diào)性的判斷，分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，增函數(shù)的定義，要熟悉二次函數(shù)的圖象，不要漏了a=0的情況．