Question

18．已知，如圖，已知PA和PB是⊙O的兩條切線，PCD是⊙O的割線，弦AE∥PD，EB交CD于點F．求證：
（1）P，F(xiàn)，O，B四點共圓；
（2）CF=FD．

Answer 1

分析 （1）連結OA，OB，證明∠POB=∠PFB，即可證明P，F(xiàn)，O，B四點共圓；
（2）證明OF⊥CD，即可證明CF=FD．

解答 證明：（1）連結OA，OB．
∵AE∥PD，∴∠PFB=∠E，
又∵P為切線PA，PB的交點，∴∠POB=$\frac{1}{2}$∠AOB=∠E=∠PFB，
∴P，F(xiàn)，O，B四點共圓；
（2）連結OF．
∵P，F(xiàn)，O，B四點共圓，∴∠OFP+∠OBP=180°，
又∵PB為圓O切線，∴∠OBP=90°，
∴∠OFP=90°，即OF⊥CD，∴CF=FD．

點評 本題考查四點共圓的證明，考查垂徑定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．