Question

某幾何體的三視圖如圖所示，P是正方形ABCD對角線的交點，G是PB的中點．
（Ⅰ）根據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；
（Ⅱ）在直觀圖中，①證明：PD∥面AGC；②證明：面PBD⊥AGC．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,由三視圖求面積、體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)三視圖，可得該幾何體為正四棱錐P-ABCD，正方形ABCD的邊長為2，正四棱錐的高為

2

，由此可得該幾何體的直觀圖．
（Ⅱ）①證明：在直觀圖中，設(shè)正方形ABCD的中心為O，利用三角形的中位線證明OG∥PD．再由直線和平面平行的判定定理證得 PD∥面AGC．
②正方形ABCD中，AC⊥BD．再由正四棱錐P-ABCD 的性質(zhì)可得PO⊥平面ABCD，可得AC⊥平面PBD，可得AC⊥GO．再利用直線和平面垂直的判定定理得AC⊥面PBD，從而證得面PBD⊥平面AGC．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)三視圖，可得該幾何體為正四棱錐P-ABCD，正方形ABCD的邊長為2，正四棱錐的高為

2

，
該幾何體的直觀圖如圖所示：
（Ⅱ），①證明：在直觀圖中，設(shè)正方形ABCD的中心為O，∵G是PB的中點，
∴OG是△PAD的中位線，故有OG∥PD．
而OG?面AGC，PD?面AGC，∴PD∥面AGC．
②證明：正方形ABCD中，AC⊥BD，再由正四棱錐P-ABCD 的性質(zhì)可得PO⊥平面ABCD，而PO?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面ABCD，且平面PBD∩平面ABCD=BD，∴AC⊥平面PBD．
而GO?平面PBD，∴AC⊥GO．
根據(jù)BD和GO是平面AGC內(nèi)的兩條相交直線，可得AC⊥面PBD．
由AC?平面AGC，可得面PBD⊥平面AGC．

點評：本題主要考查三視圖、直線和平面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．