Question

9．已知數(shù)列{a_n}，對任意n∈N^*，都有$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=n²，求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 對任意n∈N^*，都有$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=n²，當n=1時，$\frac{{a}_{1}-1}{2}$=1，解得a₁．當n≥2時，$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2n-1，再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：∵對任意n∈N^*，都有$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=n²，
∴當n=1時，$\frac{{a}_{1}-1}{2}$=1，解得a₁=3．
當n≥2時，$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=（n-1）²，
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=n²-（n-1）²=2n-1，
∴a_n=（2n-1）•2ⁿ+1，
令T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
則2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×2²+2×2³+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．
∴S_n=T_n+n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+n+6．

點評 本題考查了等比數(shù)列的前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．