Question

17．已知圓C的圓心在y軸的負(fù)半軸上，且與x軸相切，被雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的漸近線截得的弦長為$\sqrt{3}$，則圓C的方程為（　�。�

• A． x²+（y+1）²=1
• B． x²+（y+$\sqrt{3}$）²=3
• C． x²+（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3}{4}$
• D． x²+（y+2）²=4

Answer 1

分析 設(shè)出圓C的方程，求出雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的漸近線方程，利用圓被雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的漸近線截得的弦長為$\sqrt{3}$，建立方程，即可求出圓C的方程．

解答 解：設(shè)圓C的方程為x²+（y-a）²=a²（a＜0），圓心坐標(biāo)為（0，a），
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，圓被雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的漸近線截得的弦長為$\sqrt{3}$，
∴$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}={a}^{2}$，
∴a=-1，
∴圓C的方程為x²+（y+1）²=1．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確運(yùn)用勾股定理是關(guān)鍵．