Question

已知sin（3π-α）=

2

sin（π-β），

3

cos（-α）=-

2

cos（π+β），且α、β∈（0，

π

2

），求α和β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由已知及誘導(dǎo)公式可得sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ，兩邊平方后相加可得1=2sin²β+

2

3

cos²β，由α、β∈（0，

π

2

），可解得：cosβ=

3

2

，cosα=

2

2

，從而可求α和β的值．

解答： 解：∵sin（3π-α）=

2

sin（π-β），

3

cos（-α）=-

2

cos（π+β），
∴sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ
∴兩邊平方可得sin²α=2sin²β①，cos²α=

2

3

cos²β②，
∴①+②可得：1=2sin²β+

2

3

cos²β，整理可得：cos²β=

3

4

．
∵α、β∈（0，

π

2

），
∴可解得：cosβ=

3

2

，cosα=

2

2

．
∴可解得：α=

π

4

，β=

π

6

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．