Question

10．已知函數(shù)f（x）=${log_{\frac{1}{3}}}（{x^2}-ax+3a）$在[1，+∞）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． [2，+∞）
• C． $[-\frac{1}{2}，2]$
• D． $（-\frac{1}{2}，2]$

Answer 1

分析 可看出該函數(shù)是由t=x²-ax+3a和$y=lo{g}_{\frac{1}{3}}t$復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，這樣根據(jù)二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的定義域便可建立關(guān)于a的不等式組，解出a的取值范圍即可．

解答 解：設(shè)y=f（x），令x²-ax+3a=t，則$y=lo{g}_{\frac{1}{3}}t$單調(diào)遞減；
∵f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減；
∴t=x²-ax+3a在[1，+∞）上單調(diào)遞增，且滿足t＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤1}\\{{1}^{2}-a•1+3a＞0}\end{array}\right.$；
解得，$-\frac{1}{2}＜a≤2$；
∴實數(shù)a的取值范圍是$（-\frac{1}{2}，2]$．
故選D．

點評 本題考查二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及復(fù)合函數(shù)的定義，對數(shù)函數(shù)的定義域．