Question

已知函數(shù)的圖象上一點P(1，0)，且在P點處的切線與直線平行．

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)求函數(shù)在區(qū)間[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；

(3)在(1)的結(jié)論下，關(guān)于x的方程在區(qū)間[1,3]上恰有兩個相異的實根，求實數(shù)c的取值范圍

Answer 1

　(1)因為f′(x)＝3x²＋2ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，所以a＝－3.

又函數(shù)過(1,0)點，即－2＋b＝0，所以b＝2.

所以f(x)＝x³－3x²＋2.

(2)由f(x)＝x³－3x²＋2，f′(x)＝3x²－6x.

由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

①當(dāng)0<t≤2時，在區(qū)間(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是減函數(shù)，

所以f(x)_max＝f(0)＝2，f(x)_min＝f(t)＝t³－3t²＋2.-

②當(dāng)2<t<3時，當(dāng)x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況見下表：

x	0	(0,2)	2	(2，t)	t
f′(x)	0	－	0	＋	＋
f(x)	2		－2		t3－3t2＋2