Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{2x+y≤4}\\{x-y+a≥0}\end{array}\right.$，（a為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積為3，則z=x+y的取值范圍是[-1，3]．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積求出a的值，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，則B（2，0），C（-a，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{x-y+a=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4-a}{3}}\\{y=\frac{4+2a}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{4-a}{3}$，$\frac{4+2a}{3}$），
由圖象知a＞0，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$（2+a）×（$\frac{4+2a}{3}$）=3，
即（a+2）²=9，
解得a+2=3或a+2=-3，
即a=1或a=-5（舍），
由z=x+y，得y=-x+z，
平移直線y=-x+z，由圖象知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-1，0）時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z=-1，
當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2）時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z=1+2=3，
即-1≤z≤3，
故答案為：[-1，3]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)三角形的面積公式求出a的值是解決本題的關(guān)鍵．注意利用數(shù)形結(jié)合．