Question

20．已知等差數列{a_n}中，a₁，a₂，a₄成等比數列，則$\frac{{a}_{2}+{a}_{16}}{{a}_{3}+{a}_{17}}$的值為（　�。�

• A． 1或$\frac{10}{9}$
• B． $\frac{9}{10}$
• C． 1
• D． 1或$\frac{9}{10}$

Answer 1

分析 根據a₁，a₂，a₄成等比數列，得出a₁，d關系式，a₁=d或d=0，利用等差數列的通項公式進行化簡計算即可．

解答 解：a₁，a₂，a₄成等比數列，
∴a₁a₄=a₂²，
∴（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d），
化簡整理得出，a₁d=d²，
∴a₁=d，或d=0，
若a₁=d，則$\frac{{a}_{2}+{a}_{16}}{{a}_{3}+{a}_{17}}$=$\frac{2{a}_{1}+16d}{2{a}_{1}+18d}$=$\frac{2d+16d}{2d+18d}=\frac{18}{20}$=$\frac{9}{10}$，
若d=0，則a_n=a₁，則$\frac{{a}_{2}+{a}_{16}}{{a}_{3}+{a}_{17}}$=$\frac{2{a}_{1}}{2{a}_{1}}=1$，
綜上$\frac{{a}_{2}+{a}_{16}}{{a}_{3}+{a}_{17}}$=1或$\frac{9}{10}$，
故選：D．

點評 本題考查等差數列通項公式的應用，根據等比數列的基本性質求出首項和公差的關系是解決本題的關鍵．