Question

已知函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=mx-

x3

6

（m為實數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點P（

π

4

，f（

π

4

））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）若m=1，證明：當(dāng)x＞0時，x＞f（x）＞g（x）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到f′(

π

4

)的值，求得切點坐標(biāo)，由直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）解：求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=m-

1

2

x²，然后分m≤0和m＞0分析導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求得g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）分別構(gòu)造函數(shù)h（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），t（x）=f（x）-g（x）=sinx-x+

x3

6

，然后利用其導(dǎo)函數(shù)的符號判斷所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而證明答案．

解答： （Ⅰ）解：由題意得所求切線的斜率k=f′(

π

4

)=cos

π

4

=

2

2

．
切點P（

π

4

，

2

2

），則切線方程為y-

2

2

=

2

2

（x-

π

4

），
即x-

2

y+1-

π

4

=0．
（Ⅱ）解：g′（x）=m-

1

2

x²．
①當(dāng)m≤0時，g′（x）≤0，則g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，+∞）；
②當(dāng)m＞0時，令g′（x）＜0，解得x＜-

2m

或x＞

2m

，
則g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-

2m

），（

2m

，+∞）．
（Ⅲ）證明：令h（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），h′（x）=1-cosx≥0，
則h（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)．
故當(dāng)x＞0時，h（x）＞h（0）=0，x＞sinx，
當(dāng)m=1時，令t（x）=f（x）-g（x）=sinx-x+

x3

6

，
則t′(x)=cosx-1+

1

2

x2，
而t^′′（x）=-sinx+x在x＞0時恒大于0，
∴t′（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，即t′（x）＞t′（0）=0，
即t（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴t（x）=f（x）-g（x）＞t（0）=0，
故f（x）＞g（x）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．