Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

x

-x+alnx（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)f（x）的定義域；
（1）討論a的不同取值，易知當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合第（1）問的討論可求出a的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

1

x

-x+alnx的定義域?yàn)椋?，+∞）；
（1）若a≤0，
則易知f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
若a＞0，
則f′（x）=-

x2-ax+1

x2

，
①若△=a²-4≤0，則f′（x）≤0，
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
②若△＞0，即a＞2時(shí)，
解f′（x）=0可得，x=

a± a2-4

2

，
故f（x）在（0，

a- a2-4

2

），（

a+ a2-4

2

，+∞）上是減函數(shù)，
在（

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

）上是增函數(shù)；
綜上所述，
①a≤2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
②a＞2時(shí)，f（x）在（0，

a- a2-4

2

），（

a+ a2-4

2

，+∞）上是減函數(shù)，
在（

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

）上是增函數(shù)；
（2）由（1）知，
若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
則a＞2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．