Question

6．已知F₁，F(xiàn)₂ 分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，（a＞1）的左、右焦點，P在橢圓上且到兩個焦點F₁，F(xiàn)₂ 的距離之和為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，作F₁M⊥l，F(xiàn)₂N⊥l，分別交直線l于M、N兩點，求四邊形F₁MNF₂的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2\sqrt{2}=2a，得a=\sqrt{2}$，即可得出．
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，根據直線l和橢圓C有且僅有一個公共點，∴△=0，即m²=2k²+1．設d₁=|F₁M|=$\frac{|-k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，d₂=|F₂N|=$\frac{|k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$．①當k=0時，四邊形F₁F₂NM為矩形，此時S=2．②當k≠0時，過F₂作F₁M的垂線，垂足為P，則$|MN|=|{F_2}P|=\sqrt{|{F_1}{F_2}{|^2}-|{F_1}P{|^2}}=\sqrt{4-{{（{d_1}-{d_2}）}^2}}$，$S=\frac{1}{2}（{d_1}+{d_2}）•|MN|$，進而得出．

解答 解：（1）由$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2\sqrt{2}=2a，得a=\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l和橢圓C有且僅有一個公共點，∴△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）=0，
即m²=2k²+1．
設d₁=|F₁M|=$\frac{|-k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，d₂=|F₂N|=$\frac{|k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
①當k=0時，四邊形F₁F₂NM為矩形，此時S=2
②當k≠0時，過F₂作F₁M的垂線，垂足為P，則$|MN|=|{F_2}P|=\sqrt{|{F_1}{F_2}{|^2}-|{F_1}P{|^2}}=\sqrt{4-{{（{d_1}-{d_2}）}^2}}$，
∴$S=\frac{1}{2}（{d_1}+{d_2}）•|MN|$，
則S²=$\frac{1}{4}（sko6kug_{1}+yisagqc_{2}）^{2}$|MN|²=$\frac{1}{4}（4q4e4ak_{1}+4y4o2ks_{2}）^{2}$$•[4-（k6icyiw_{1}-umwmuqm_{2}）^{2}]$，
∵${（{d_1}+{d_2}）^2}=\frac{{{{（m-k）}^2}}}{{{k^2}+1}}+\frac{{{{（k+m）}^2}}}{{{k^2}+1}}+2\frac{{|{m^2}-{k^2}|}}{{{k^2}+1}}$，又∵m²=2k²+1＞k²，
∴${（{d_1}+{d_2}）^2}=\frac{{{{（m-k）}^2}}}{{{k^2}+1}}+\frac{{{{（k+m）}^2}}}{{{k^2}+1}}+2\frac{{{m^2}-{k^2}}}{{{k^2}+1}}=\frac{{4{m^2}}}{{{k^2}+1}}$，
同理：${（{d_1}-{d_2}）^2}=\frac{{{{（m-k）}^2}}}{{{k^2}+1}}+\frac{{{{（k+m）}^2}}}{{{k^2}+1}}-2\frac{{{m^2}-{k^2}}}{{{k^2}+1}}=\frac{{4{k^2}}}{{{k^2}+1}}$，
∴${S^2}=\frac{1}{4}{（{d_1}+{d_2}）^2}•[4-{（{d_1}-{d_2}）^2}]=\frac{{4{m^2}}}{{{{（{k^2}+1）}^2}}}$．
∵m²=2k²+1＞1，∴${S^2}=\frac{{4{m^2}}}{{{{（{k^2}+1）}^2}}}=16{（\frac{m}{{{m^2}+1}}）^2}=16{（\frac{1}{{m+\frac{1}{m}}}）^2}$，
∴S²∈（0，4），即S∈（0，2）．
綜上所述，S∈（0，2]，即S的最大值為2．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、點到直線的距離公式、四邊形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．