Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上的最大值h（t）；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
（I）由圖象知函數(shù)的圖象過(guò)（0，），（8，0），最大值為16，代入可求a，b，c，從而可求函數(shù)f（x）的解析式
（Ⅱ）由f（x）=-（x-4）²+16，要求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上的最大值h（t），需要考查對(duì)稱軸x=4與區(qū)間[t，t+4]的位置關(guān)系：分t＞4，t≤4≤t+2，t+2＜4分別求解函數(shù)的最大值
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)φ（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m．要使函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)φ（x）=x²-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可得必須且只須

φ(1)=0 φ(3)＜0

或

φ(3)=0 φ(1)＞0

，從而可求m的范圍

解答：解：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
（I）由圖象知：

c=0 a•82+b•8+c=0 4ac-b2 4a =16

解之得：

a=-1 b=8 c=0

，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-x²+8x…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）=-（x-4）²+16，
∴當(dāng)t＞4時(shí)，f（x）的最大值是f（t）=-（t-4）²+16；
當(dāng)t≤4≤t+2，即2≤t≤4時(shí)，f（t）的最大值是f（4）=16；
當(dāng)t+2＜4，即t＜2時(shí)，f（x）的最大值是f（t+2）=-（t-2）²+16．∴h(t)=

-(t-2)2+16；t＜2 16，2≤t≤4 -(t-4)2+16，t＞4

…（8分）
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x），則g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m．
因?yàn)閤＞0，要使函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)φ（x）=x²-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∴?′(x)=2x-8+

6

x

=

2x2-8x+6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

(x＞0)
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）是減函數(shù)
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）是增函數(shù)
當(dāng)x=1或x=3時(shí)，φ′（x）=0
∴φ（x）極大值為φ（1）=m-7；φ（x）極小值為φ（3）=m+6ln3-15…（12分）
又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，φ（x）→-∞
當(dāng)x→+∞時(shí)，φ（x）→+∞
所以要使φ（x）=0有且僅有兩個(gè)不同的正根，只須

φ(1)=0 φ(3)＜0

或

φ(3)=0 φ(1)＞0

即

m-7=0 m+6ln3-15＜0

或

m+6ln3-15=0 m-7＞0

∴m=7或m=15-6ln3．
∴當(dāng)m=7或m=15-6ln3．時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題目考查了由二次函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，考查了識(shí)別圖象的能力及二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用．